Jos jedna priča o brojevima

Uobičajen

Pre više stotina godina u Indiji je živeo kralj Širham koji je voleo da igra igre, ali se zasitio starih igara i hteo je nešto sa više izazova. Zatražio je od siromašnog matematičara , koji je živeo u njegovom kraljevstvu, da mu izmisli novu igru. Ta nova igra zvala se ŠAH. Kralj se toliko oduševio da je matematičaru za nagradu ponudio šta god poželi.

’’Želeo bih da mi na prvo polje šahovske table date jedno zrno pšenice, na drugo dva, na trece četiri, i na svako sledeće polje duplo više zrna pšenice nego na prethodnom polju“, rekao je  skromni  matematičar. Kralja je ovaj odgovor uvredio, ali je ipak naredio svojim slugama da matematičaru daju traženu nagradu. Sluge su počele da ređaju: 1,2,4,8,16,32,64….Ubrzo je shvatio da u čitavoj Indiji nema dovoljno pšenice da se popune sva polja šahovske table.

Broj zrna pšenice nije ništa drugo nego suma prvih 64 članova geometrijske progresije, početnog člana 1 i količnika 2 i ona iznosi 18 446 744 073 709 551 615 (18 kvadriliona 446 triliona 744 biliona 73 milijarde 709 miliona 551 hiljada 615).

Advertisements

PLATONOVA TELA

Uobičajen

Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri čija je svaka strana pravilan poligon sa jednakim brojem temena i čije svako teme sadrži jednak broj ivica

Postoji tačno pet Platonovih tela:

  • tetraedar
  • kocka
  • oktaedar
  • dodekaedar
  • ikosaedar

Svako Platonovo telo predstavlja pojedinačnu pojavu:

  • Tetraedar – vatra
  • Oktaedar – vazduh
  • Ikosaedar – voda
  • Heksaedar – zemlja
  • Dodekaedar – vasiona

Svako od pet Platonovih tela zadovoljava sledeće uslove:

  • Sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne poligonske površi (svaka pljosan ima isti broj ivica)
  • Sve rogljaste površi su pravilne i međusobno podudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i konveksni su.

Euklidov geometrijski dokaz:

  • Svaki ćošak tela mora da se podudara sa po jednim ćoškom (vrhom) najmanje tri strane.
  • Na svakom vrhu tela, zbir uglova između njihovih odgovarajućih susednih strana mora biti manji od 360 stepeni.
  • Uglovi kod svih temena svih strana Platonovog tela su isti, tako da svaki ćošak svake strane mora da doprinosi manje od 120 stepeni.
  • Pravilni mnogouglovi sa šest ili više strana imaju samo uglove od 120 stepeni ili više, tako da zajednička lica moraju da budu trouglovi, kvadrati ili petouglovi.Слика

BROJ PI KROZ ISTORIJU

Uobičajen

Broj pi je matematička konstanta koja se primenjuje u matematici i fizici. Približna vrednost ove konstante je  3,14 (ili 22/7). Definiše se kao odnos obima i prečnika kruga ili kao odnos površine i kvadrata poluprečnika kruga.

Broj pi je poznat i kao Arhimedova konstanta ili Ludolfov broj. Pi je iracionalan broj što je dokazao J.H.Lambert i ne može se napisati u obliku razlomka (a/b) , gde su  a i b celi brojevi.

Najraniji poznati zapis o broju pi dolazi od Egipćana oko 1650. pre nove ere  na Rajndovom papirusu (pronađen 1858.).

Ovi zapisi govore nam da je poEgipćanima vrednost pi bila 256/81(=3.1604938…) što je za 1% veća vrednost od današnje. Godine 2000 p.n.e. Vavilonci su odredili vrednost od 3,125 a takođe se pi pojavljuje i u Bibliji,  gde mu je vrednost izjednačena sa 3. Postoje mnoge interpretacije ovoga, a jedna od njih kaže “Zato što je biblija  tačna zato je pi=3, ali pošto se ljudi trude da to dokažu, biblija je netačna”.

Godine 250. pre nove ere Arhimed je bio prvi koji je računao vrednost pi matematičkom metodom.

Klaudije Ptolomej iz Aleksandrije, jedan od najuticajnijih astronoma i geografa svog vremena došao je u svom delu Veliki zbornik, koji je poznatiji pod nazivom“Almagest”, do 3.1416 koristeći metod koji je sličan Arhimedovom

Tsu Chung Chi (430.-501.n.e.), kineski matematičar i astronom dao je racionalnu približnost 355/113 (Ova vrednost za pi mogla se dobiti iz vrednosti Ptolomeja i Arhimeda. Ta vrednost, koja je, u stvari delimični razlomak pri razlaganju pi u verižni razlomak, često se naziva “Mecijevim brojem”) za pi koja je tačna za 6 decimalnih mesta. On je takođe dokazao da je 3.1415926 < pi < 3.1415927

Leonardo Fibonacci (1180.-1250.) je koristio Arhimedov metod sa 96-ostranim poligonom, ali je imao prednost korišćenja korenovanja i došao je do 3.141818 za vrednost pi.

Ludolph van Ceulen (1540.-1610.) je stigao do 35 decimalnih mesta

Isaac Newton je 1666. godine izračunao pi sa najmanje 15 decimalnih mesta, ali je to njegovo otkriće objavljeno posle njegove smrti(1737. godine).

Abracham Sharp je 1699. godine došao do 72 decimalna mesta

Ojler je 1755. godine izračunao 20 decimalnih mesta za broj pi za sat vremena.

Od 1949. godine kompjuteri preuzimaju primat u izračunavanju broja pi. Trenutni rekord

ima 1.241.100.000.000 cifara

Čak i Grci i stari Vavilonci su kazali: obime kad deliš krugovim prečnikom dobijaš neophodan nam pi.

Kad se izbroje slova svake reči u prethodnoj rečenici, dobija se po jedna cifra broja pi. 3.1415… 🙂